Comment savons-nous que la formule de multiplication des fractions est correcte?

Rappel: tu peux faire défiler à gauche et à droite les longues formules

La question

Nous avons tous appris au collège cette formule:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$$

Où $a, b, c$ et $d$ sont des entiers et $b$ et $d$ sont différents de zéro, ou en d’autres termes: $a, c \in \mathbb{N}$ et $b, d \in \mathbb{N}^*$

Lorsque nous l’appliquons, cela semble tout simplement fonctionner. Mais comment sommes-nous sûrs que la formule est toujours vraie ?

Les prérequis

Nous prendrons pour acquises les propriétés des opérations sur les entiers, en particulier pour multiplication:

1. L’associativité de la multiplication:

$$a \times b \times c \; \ = \; \ (a \times b) \times c \; \ = \; \ a \times (b \times c)$$

2. La commutativité de la multiplication

$$a \times b = b \times a$$

3. Les priorités égales de multiplication et de division, ce qui signifie que l’ordre dans lequel nous effectuons les multiplications et les divisions ne change pas le résultat du calcul:

$$a \times b \div c = (a \times b) \div c = a \times (b \div c)$$

4. La neutralité de $1$ pour la multiplication:

$$\forall a \in \mathbb {N}^*, \; \ a \times 1 = a$$

5. Un nombre divisé par lui-même est égal à $1$

$$\forall a \ne 0, \quad a \div a = 1$$

Une réponse

Nous pouvons essayer d’utiliser de l’algèbre simple (?) pour transformer $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$ en $\frac{a \times c}{b \times d}$ et donc être sûrs de notre formule.

Comme dans beaucoup de transformations algébriques, nous allons introduire une expression neutre, c’est-à-dire une expression s’évalue à l’élément neutre (ici $1$) pour l’opérateur (ici $\times$) et qui laissera ainsi la valeur de la formule inchangée. Nous utilisons la propriété (5) des prérequis pour introduire une expression neutre bien pratique pour notre objectif:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \ = \ \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \; \ \times \; \ \left( (b \times d) \ \div \ (b \times d) \right)$$

Nous utilisons maintenant les propriétés (1), (2) et (3) des prérequis pour réécrire l’équation ci-dessus:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \ = \ \left( \frac{a}{b} \times b \right) \times \left( \frac{c}{d} \times d \right) \div \left(b \times d \right)$$

Diviser par un nombre puis multiplier par ce même nombre ne changent pas le nombre initial, donc $\frac{a}{b} \times b \ = \ a$ et $\frac{c}{d} \times d \ = \ c$. Nous avons donc maintenant:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \ = \ a \times c \div \left(b \times d \right)$$

En utilisant l’associativité, nous écrivons:

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \ = \ \left(a \times c \right) \div \left(b \times d \right)$$

Qui égal à:

$$\boxed{\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \ = \ \frac{a \times c}{b \times d}}$$

Hourra ! Nous l’avons ! Q.E.D - Quod Erat Demonstrandum!

Un postcriptum

Notons que $a \div b$ n’est pas exactement le même objet mathématique que $\frac{a}{b}$. Le premier est un opérateur binaire appliqué à 2 entiers et le second est un nombre (un nombre rationnel). Ils sont égaux, ce qui signifie qu’ils peuvent être interchangés dans une expression, car ils représentent au final la même valeur.

À bientôt !
N’arrête jamais d’apprendre !

Écrit le dim. 21 oct. 2018 à 8:31 GMT+00:00.
Dernière modification le dim. 21 oct. 2018 à 8:31 GMT+00:00.